高三數學《函數（第一教時）》說課稿

一、目的要求：

1、 本課的地位和作用

函數一章在高中數學的學習中起着承上啓下的作用，它是在初中初步探討函數的概念，函數關係的表示方法、圖象的位置等基礎上，對函數概念的再認識，即用集合映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，並研究了單調性和奇偶性這兩個重要特徵，爲今後的學習打下良好的基礎，爲進一步學習三角函數、函數的週期性及選修內容中的極限、導數、積分提供了良好的保證。這些內容是函數及應用研究的深入及提高，也是今後進一步高等數學和參加工農業生產建設需要具備的基礎知識。本章的學習對中學生數學學習起着決定性的作用。而且不僅是知識性方面，更重要的學習方法方面，也將是終身受益的一章。作爲該章的起始課之一，本節課的地位也就不言而愈了。

2、 教學目標

（1）知識目標：

理解函數的概念，明確決定函數的三要素，即定義域、值域和對應法則；進一步理解對應法則的意義。

（2）能力目標：

透過教師指導發現知識結論，培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力；培養學生理論聯繫實際的能力。

（3）情感目標：

激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學態度和勇於創新的精神。

3、教學重點：在映射的基礎上理解函數的概念

4、教學難點：函數的概念

二、教學內容分析

1、函數的概念在初中已作過介紹，它是這樣表述的：

設在一個變化過程中有兩個變量

與 ，如果對於 的每一個值，都有惟一的值與它對應，那麼就說 是自變量， 是 的函數。我們看到，這裏是用運動變化的觀點對函數進行定義的，它反映了歷史上人們對它的一種認識，而且這個定義較爲直觀，易於接受，因此按照由淺入深、力求符合學生認知規律的內容編排原則，函數概念在初中介紹到這個程度是合適的。但是，由於這個定義並未完全揭示出函數概念的本質，在以函數爲重要內容的高中階段，課本應將函數定義爲兩個集合之間的一種映射，按照這種觀點，函數是兩個數集（或其某個子集）之間的一種特殊的映射，這樣就使我們對函數概念有了更深一層的認識。

2、函數概念有三個要素：對應法則，定義域和值域。

函數的對應法則通常用記號 表示，函數記號 表明，對於定義域中的任意 ，在“對應法則 ”作用下得到

。在比較簡單的情況下，對應法則 可用一個解析式來表示，但在不少問題中，對應法則要用幾個解析式來表示，有時甚至不可能用解析式來表示，而要用其他方式（如列表、圖象）來表示。

定義域是指原象的集合，即自變量的取值範圍。應指出初中講函數概念時，爲便於接受未提出較爲抽象的“定義域”的術語，而採用了較爲通俗的'“自變量的取值範圍”的說法，對於兩個對應法則相同的函數來說，如果定義域不同，應該被看作是不同的函數，在中學階段，所研究的函數通常都是能夠用解析式表示的，這時函數的定義域通常是指能使這個式子有意義的所有實數 的集合，而對於實際應用問題來說，自變量所取的值還必須是實際問題本身所允許的。

值域是所有函數值組成的集合，它取決於定義域和對應法則，應該指出，初中講函數時，

限於要求未提及值域這一術語。

3、函數通常用符號 表示，由於這個符號較爲抽象，在初中講函數時未出現這個符號，在講函數的符號表示時，應說明幾點：是表示是的函數，不是表示 等於與的乘積；不一定是一個解析式；與 是不同的。

4、函數主要有三種表示方法：解析法、列表法和圖象法。

解析法是用解析式來表示函數關係，在中學所研究的主要是這類函數，有了解析式，可以明瞭變量間的關係，並求出相應於任意自變量的函數值。

列表法是用列表來表示兩個變量間的函數關係，事實上，平方表、平方根表、三角函數表等都是用列表法來表示函數關係的。這種方法的優點是不必計算即可看出兩個變量的值之間的對應關係，但在自變量取值較多時，難以將兩個變量的對應數值—一列出。

圖象法是用圖象表示兩個變量間的函數關係，其優點是直觀形象，但對函數關係的表示顯得較爲粗略。

應該指出，以上表示函數的三種方法具有互補性、因此在實際研究函數時，通常是三種方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函數的性質時，通常取其自變量的部分值，根據解析式算出相應的函數值，列表顯示其數值的對應關係，再據此在平面直角座標系中描點，最後將這些點連成曲線，形成該函數的圖象。

三、說教學設計

現代教育心理學的研究認爲，有效的概念教學是建立在學生已有知識結構的基礎上的，因此教師在設計教學的過程中必須注意在學生已有知識結構中尋找新概念的固着點，引導學生透過同化或順應，掌握新概念，進而完善知識結構。

函數現代定義既是本課的重點，又是難點。如何突破？我認爲就是應該抓住學生已有知識結構中的函數傳統定義作爲新知識的固着點，利用映射概念作爲突破口，透過傳統定義和現代定義的比較，化抽象爲具體，從而引導學生理解並掌握概念。

教學中，我首先從學生熟悉的函數入手，引出函數傳統定義，然後引導學生利用映射給出函數現代定義。儘量不讓學生由於陌生而產生對新概念的恐懼。接着在進行兩個概念的比較的時候又依託具體例子，化抽象爲具體，較好地解決了這一問題。函數是抽象性很強的概念，爲使學生比較容易地理解這一概念，我多次使用學生比較熟悉的生活中的實例來解釋和理解函數的概念，同時也請同學自編一些函數題目，並把自己所編的函數題目解答清楚，這樣可使抽象的問題具體化。

四、說教學過程

（一）、複習與引入

師：我們在初中學過函數，請同學們回憶一下，我們學過哪些函數。

生：正比例函數

反比例函數

一次函數

二次函數

師：那麼什麼叫函數呢?

(讓學生回憶，同時老師打出投影片)

初中學過的函數定義：在某變化過程中，有兩個變量 ， ，如果對於 在某個範圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則， 都有唯一確定的值和它對應，那麼 就是 的函數，

叫自變量，的取值範圍叫做函數的定義域，和 的值對應的 的值叫做函數值，函數值的集合叫做值域。

（二）、新課

1、函數定義

師：我們分析這個定義，可以看出，函數是運動變化中的兩個變量之間的一種制約關係，自變量 在自己的取值範圍內取定一個值， 就由這種制約關係確定出一個與 對應的函數值.這種制約關係，實際上是一種對應關係。一般地，設a，b是兩個集合，如果按照某種對應法則 ，對於集合a中的任何一個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從集合a到集合b的映射，哪一位同學能從映射的角度給函數重新下一個定義呢？

(學生討論，教師引導學生敘述準確)

設a，b都是非空的數集，那麼a到b的映射 就叫做a到b的函數，記作 ，其中 ， ，原象集合a叫做函數的定義域，象集合c叫做函數 的值域，顯然 。

師：我們分析函數的兩個定義。這兩個定義本質上是一致的，兩上定義中的定義域、值域的意義完全相同，兩個定義中的對應法則實際上也是一樣的，但兩個定義敘述的出發點不同，我們把初中所學定義叫傳統定義，把高中新學的定義叫近代定義。可以看出，傳統定義是從運動變化的觀點出發，其中對應法則是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數值對應起來.近代定義則是從集合、對應的觀點出發，其中的對應法則將原象集合中的任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應起來。傳統定義用變量的觀點描述函數比較生動、直觀，但對有些函數用傳統定義解釋比較勉強，如市區公共汽車票價與乘車所走的站數是一種函數關係：

(元)( =1，2，3，…，20)，但用近代定義解釋就很方便：a={1，2，3，4，…，20}(假設每路公共汽車走20站)，b={0.5元，1元}， ：不論乘坐幾站，上車就是1元 是一個函數關係，看起來，近代定義更具有一般性。

2、函數的表示法

師：我們已經明確了函數的定義，那麼怎樣表示一個函數呢?請看例子。

練習本單價爲0.7元，買練習本的本數 與付款款額 的函數關係如何表示?

生甲：我畫一個表格。(學生口述時，老師板演)

師：列表格的方法很直觀地反映了練習本的本數與付款款額的關係，但這種表示方法一般不完整，如我要買100本練習本，需付的款額表中就沒有，還可以用什麼方式表示呢?

生乙：我用一個數學式子 表示。

師：這個表示法叫解析法，它嚴謹、完整，但不夠直觀，另外，描繪函數的圖象，也可以直觀形象地表示一個函數。(板書以下內容)

函數的表示法：

解析法用一個等式表示出x與y的關係

列表法用表格表示出x與y的對應關係

圖象法以表格中的數對(x，y)爲點的座標描繪出能反映x與y的對應關係的曲線。

函數的三種表示法各有所長，各有所短，我們要根據具體情況，恰當地選擇方法來表示所要研究的函數。