定積分證明題方法總結

定積分是歷年數學的考查重點，其中定積分的證明是考查難點，同學們經常會感覺無從下手，小編特意爲大家總結了定積分的計算方法，希望對同學們有幫助。

定積分證明題方法總結 篇1

一、 不定積分計算方法

1. 湊微分法

2. 裂項法

3. 變量代換法

1) 三角代換

2) 根冪代換

3) 倒代換

4. 配方後積分

5. 有理化

6. 和差化積法

7. 分部積分法（反、對、冪、指、三）

8. 降冪法

二、 定積分的計算方法

1. 利用函數奇偶性

2. 利用函數週期性

3. 參考不定積分計算方法

三、 定積分與極限

1. 積和式極限

2. 利用積分中值定理或微分中值定理求極限

3. 洛必達法則

4. 等價無窮小

四、 定積分的估值及其不等式的應用

1. 不計算積分，比較積分值的大小

1) 比較定理：若在同一區間[a,b]上，總有

f(x)>=g(x),則 >= ()dx

2) 利用被積函數所滿足的不等式比較之 a)

b) 當0<x<兀/2時，2/兀<<1

2. 估計具體函數定積分的值

積分估值定理：設f(x)在[a,b]上連續，且其最大值爲M，最小值爲m則

M(b-a)<= <=M(b-a)

3. 具體函數的定積分不等式證法

1) 積分估值定理

2) 放縮法

3) 柯西積分不等式

≤ %

4. 抽象函數的定積分不等式的證法

1) 拉格朗日中值定理和導數的有界性

2) 積分中值定理

3) 常數變易法

4) 利用泰勒公式展開法

五、 變限積分的導數方法

定積分證明題方法總結 篇2

1、原函數存在定理

●定理如果函數f(x)在區間I上連續，那麼在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續函數一定有原函數。

●分部積分法

如果被積函數是冪函數和正餘弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，並設冪函數和指數函數爲u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數爲u。

2、對於初等函數來說，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

定積分

1、定積分解決的典型問題

(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

2、函數可積的充分條件

●定理設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上可積，即連續=>可積。

●定理設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a,b]上可積。

3、定積分的若干重要性質

●性質如果在區間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

●推論如果在區間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性質設M及m分別是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質說明由被積函數在積分區間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致範圍。

●性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一個點，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

4、關於廣義積分

設函數f(x)在區間[a,b]上除點c(a

定積分的應用

1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

●直角座標系下(含參數與不含參數)

●極座標系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

●旋轉體體積(由連續曲線、直線及座標軸所圍成的面積繞座標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的'方程)

●平行截面面積爲已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)爲截面面積)

●功、水壓力、引力

●函數的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

定積分證明題方法總結 篇3

一、不定積分的概念和性質

若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C爲積分常數不可丟！

性質1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

df(x)dxf(x) dx

性質2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

性質3[f(x)g(x)]dx

或[f(x)g(x)]dx

二、基本積分公式或直接積分法

基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

kdxkxC

xxdx1x1C(爲常數且1)1xdxlnxC ax

edxeCadxlnaC xx

cosxdxsinxCsinxdxcosxC

dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

dxarctanxCarccotx

C（）1x2arcsinxC（arccosxC）

直接積分法：對被積函數作代數變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數變形主要是指因式分解、加減拆並等；三角變形主要是指三角恆等式。

三、換元積分法：

1.第一類換元法（湊微分法）

g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

注 (1)常見湊微分：

u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

(2)適用於被積函數爲兩個函數相乘的情況：

若被積函數爲一個函數，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數多於兩個，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類；

(3)一般選擇“簡單”“熟悉”的那個函數寫成(x)；

(4)若被積函數爲三角函數偶次方，降次；奇次方，拆項；

2.第二類換元法

f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型:

(1) 對被積函數直接去根號;

(2) 到代換x1; t

(3) 三角代換去根號

x

atantxasect、

xasint(orxacost)

f(xdx，t

f(xx，x

asect

f(xx，xasint

f(xx，xatant f(ax)dx，ta

x

f(xx，t

三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

注 (1)u的選取原則：按“ 反對冪三指” 的順序，誰在前誰爲u，後面的爲v;

(2)uvdx要比uvdx容易計算；

(3)適用於兩個異名函數相乘的情況，若被積函數只有一個，比如：

arcsinx1dx，

u

v

(4)多次使用分部積分法： uu求導 vv積分（t；

定積分證明題方法總結 篇4

一、原函數

定義1 如果對任一xI，都有F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

則稱F(x)爲f(x)在區間I 上的原函數。

例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數。 [ln(xx2)

原函數存在定理：如果函數f(x)在區間I 上連續，則f(x)在區間I 上一定有原函數，即存在區間I 上的可導函數F(x)，使得對任一xI，有F(x)f(x)。

注1：如果f(x)有一個原函數，則f(x)就有無窮多個原函數。

設F(x)是f(x)的原函數，則[F(x)C]f(x)，即F(x)C也爲f(x)的原函數，其中C爲任意常數。

注2：如果F(x)與G(x)都爲f(x)在區間I 上的原函數，則F(x)與G(x)之差爲常數，即F(x)G(x)C（C爲常數）

注3：如果F(x)爲f(x)在區間I 上的一個原函數，則F(x)C（C爲任意常數）可表達f(x)的任意一個原函數。

1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數。

二、不定積分

定義2 在區間I上，f(x)的帶有任意常數項的原函數，成爲f(x)在區間I上的不定積分，記爲f(x)dx。

如果F(x)爲f(x)的一個原函數，則

f(x)dxF(x)C，（C爲任意常數）

三、不定積分的幾何意義

圖 5—1 設F(x)是f(x)的一個原函數，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱它爲f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿着y軸方向作任意平行移動而產生的所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫座標x的點處有互相平行的切線，其斜率都等於f(x)．

在求原函數的具體問題中，往往先求出原函數的一般表達式yF(x)C，再從中確定一個滿足條件 y(x0)y0 (稱爲初始條件)的原函數yy(x)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條透過點(x0,y0)的積分曲線．

四、不定積分的性質（線性性質）

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

k爲非零常數） kf(x)dxkf(x)dx（

五、基本積分表

∫ a dx = ax + C，a和C都是常數

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a爲常數且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

∫ e^x dx = e^x + C

∫ cosx dx = sinx + C

∫ sinx dx = - cosx + C

∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C

= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

∫ sec^2(x) dx = tanx + C

∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

∫ secxtanx dx = secx + C

∫ cscxcotx dx = - cscx + C

∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

六、第一換元法（湊微分）

設F(u)爲f(u)的原函數，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，則 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

即F[(x)]爲f[(x)](x)的原函數，或

f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有

定理1 設F(u)爲f(u)的原函數，u(x)可微，則

f[(x)](x)dx[f(u)du]

公式(2-1)稱爲第一類換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb

定積分證明題方法總結 篇5

《複變函數與積分變換》是電氣技術、自動化及信號處理等工科專業的重要基礎課，也是重要的工具性課程。本課程包括兩部分內容：複變函數和積分變換。複變函數與積分變換的學習是爲以後學習工程力學、電工學、電磁學、振動力學及無線電技術等奠定基礎。

教學過程、方法及教學效果

1、命題分析

命題符合教學大綱基本要求，知識點覆蓋面廣，難易適中。重點考查了學生的基本概念、基本理論和技能的掌握程度以及綜合運用能力。命題表述簡明、準確，題量適中。

2、答題分析

絕大多數同學學習態度較好、學習積極性較高，能認真備考，掌握了相關的基本知識點，和相關題目的運算。從學生的考試情況來看，總體來說效果是比較好的。

3、成績分析

學生總數104平均分

4、教學效果

總體情況比較理想，同學們普遍感覺對該課程的相關理論有了一定的瞭解，基本掌握了本課程的相關知識。

存在的不足及改進措施

在今後的教學中，尤其要加強教學內容與專業相結合，使學生更有興趣學習這門課程，對教材進行適當的處理，調整講解順序，抓住關鍵知識點，在課堂上加大對學生訓練的力度。課後及時批改學生作業，及時講評並解答學生的各種疑難問題。

教改建議

學時相對較少，概念和理論不能深入展開講解；應適當增加學時，以增加習題課的教學，使學生能夠更牢固掌握該門課程。

90～100分(優)80～89分(良)167226優秀率70～79分(中)1315%60～69分(及)0～59分(不及)35及格率1487%