數學因式分解教案

數學因式分解教案

作爲一位無私奉獻的人民教師，有必要進行細緻的教案准備工作，教案是保證教學取得成功、提高教學質量的基本條件。那麼大家知道正規的教案是怎麼寫的嗎？下面是小編爲大家收集的數學因式分解教案 ，僅供參考，歡迎大家閱讀。

數學因式分解教案 1

知識點：

因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。

教學目標：

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分解因式。

考查重難點與常見題型：

考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題爲多，也有選擇題和解答題。

教學過程：

因式分解知識點

多項式的因式分解，就是把一個多項式化爲幾個整式的積。分解因式要進行到每一個因式都不能再分解爲止。分解因式的常用方法有：

（1）提公因式法

如多項式

其中m叫做這個多項式各項的.公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式。

（2）運用公式法，即用

寫出結果。

（3）十字相乘法

對於二次項係數爲l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對於一般的二次三項式尋找滿足

a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則

（4）分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行。

分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號裏的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號裏的各項都改變符號。

（5）求根公式法：如果有兩個根X1，X2，那麼

2、教學實例：學案示例

3、課堂練習：學案作業

4、課堂：

5、板書：

6、課堂作業：學案作業

7、教學反思：

數學因式分解教案 2

整式乘除與因式分解

一.回顧知識點

1、主要知識回顧：

冪的運算性質：

aman=am+n(m、n爲正整數)

同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

=amn(m、n爲正整數)

冪的乘方，底數不變，指數相乘.

(n爲正整數)

積的乘方等於各因式乘方的積.

=am-n(a≠0，m、n都是正整數，且m>n)

同底數冪相除，底數不變，指數相減.

零指數冪的概念：

a0=1(a≠0)

任何一個不等於零的數的零指數冪都等於l.

負指數冪的概念：

a-p=(a≠0，p是正整數)

任何一個不等於零的數的-p(p是正整數)指數冪，等於這個數的p指數冪的倒數.

也可表示爲：(m≠0，n≠0，p爲正整數)

單項式的乘法法則：

單項式相乘，把係數、同底數冪分別相乘，作爲積的因式;對於只在一個單項式裏含有的字母，則連同它的指數作爲積的一個因式.

單項式與多項式的乘法法則：

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

多項式與多項式的乘法法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的'每一項相乘，再把所得的積相加.

單項式的除法法則：

單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作爲商的因式：對於只在被除式裏含有的字母，則連同它的指數作爲商的一個因式.

多項式除以單項式的法則：

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等於這兩個數的平方差.

②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

文字語言敘述：兩個數的和(或差)的平方等於這兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍.

3、因式分解：

因式分解的定義.

把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.

掌握其定義應注意以下幾點：

(1)分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;

(2)因式分解必須是恆等變形;

(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解爲止.

弄清因式分解與整式乘法的內在的關係.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化爲積的形式，而整式乘法是把積化爲和差的形式.

二、熟練掌握因式分解的常用方法.

1、提公因式法

(1)掌握提公因式法的概念;

(2)提公因式法的關鍵是找出公因式，公因式的構成一般情況下有三部分：①係數一各項係數的最大公約數;②字母——各項含有的相同字母;③指數——相同字母的最低次數;

(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式並確定另一因式.需注意的是，提取完公因式後，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

(4)注意點：①提取公因式後各因式應該是最簡形式，即分解到“底”;②如果多項式的第一項的係數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數是正的.

2、公式法

運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用;

常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

數學因式分解教案 3

學習目標

1、瞭解因式分解的意義以及它與正式乘法的關係。

2、能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法分解因式。

學習重點：能用提公因式法分解因式。

學習難點：確定因式的公因式。

學習關鍵，在確定多項式各項公因式時，應抓住各項的公因式來提公因式。

學習過程

一.知識回顧

1、計算

(1)、n(n+1)(n-1)(2)、(a+1)(a-2)

(3)、m(a+b)(4)、2ab(x-2y+1)

二、自主學習

1、閱讀課文P72-73的內容，並回答問題：

(1)知識點一：把一個多項式化爲幾個整式的__________的形式叫做____________，也叫做把這個多項式__________。

(2)、知識點二：由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得

ma+mb+mc=m(a+b+c)

我們來分析一下多項式ma+mb+mc的特點;它的`每一項都含有一個相同的因式m，m叫做各項的_________。如果把這個_________提到括號外面，這樣

ma+mb+mc就分解成兩個因式的積m(a+b+c)，即ma+mb+mc=m(a+b+c)。這種________的方法叫做________。

2、練一練。P73練習第1題。

三、合作探究

1、(1)m(a-b)=ma-mb(2)a(x-y+2)=ax-ay+2a，由上可知，整式乘法是一種變形，左邊是幾個整式乘積形式，右邊是一個多項式。、

2、(1)ma-mb=m(a-b)(2)ax-ay+2a=a(x-y+2),由此可知，因式分解也是一種變形，左邊是_____________，右邊是_____________。

3、下列是由左到右的變形，哪些屬於整式乘法，哪些屬於因式分解?

(1)(a+b)(a-b)=a-b(2)a+2ab+b=(a+b)

(3)-6x3+18x2-12x=-16(x2-3x+2)(4)(x-1)(x+1)=x2-1

4、準確地確定公因式時提公因式法分解因式的關鍵，確定公因式可分兩步進行：

(1)確定公因式的數字因數，當各項係數都是整數時，他們的最大公約數就是公因式的數字因數。

例如：8a2b-72abc公因式的數字因數爲8。

(2)確定公因式的字母及其指數，公因式的字母應是多項式各項都含有的字母，其指數取最低的。故8a2b-72abc的公因式是8ab

四、展示提升

1、填空(1)a2b-ab2=ab(________)

(2)-4a2b+8ab-4b分解因式爲__________________

(3)分解因式4x2+12x3+4x=__________________

(4)__________________=-2a(a-2b+3c)

2、P73練習第2題和第3題

五、達標測試。

1、下列各式從左到右的變形中，哪些是整式乘法?哪些是因式分解?哪些兩者都不是?

(1)ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m(2)mx-2m=m(x-2)

(3)2a(b+c)=2ab+2ac(4)(x-3)(x+3)=(x+3)(x-3)

(5)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(6)(x-2)(x+2)=x2-4

2.課本P77習題8.5第1題

學習反思

一、知識點

二、易錯題

三、你的困惑

數學因式分解教案 4

教材分析

因式分解是代數式的一種重要恆等變形。《數學課程標準》雖然降低了因式分解的特殊技巧的要求,也對因式分解常用的四種方法減少爲兩種,且公式法的應用中,也減少爲兩個公式,但絲毫沒有否定因式分解的教育價值及其在代數運算中的重要作用。本章教材是在學生學習了整式運算的基礎上提出來的,事實上,它是整式乘法的逆向運用,與整式乘法運算有密切的聯繫。分解因式的變形不僅體現了一種“化歸”的思想,而且也是解決後續—分式的化簡、解方程等—恆等變形的基礎,爲數學交流提供了有效的途徑。分解因式這一章在整個教材中起到了承上啓下的作用。本章的教育價值還體現在使學生接受對立統一的觀點,培養學生善於觀察、善於分析、正確預見、解決問題的能力。

學情分析

透過探究平方差公式和運用平方差公式分解因式的活動中，讓學生髮表自己的.觀點，從交流中獲益，讓學生獲得成功的體驗，鍛鍊克服困難的意志建立自信心。

教學目標

1、在分解因式的過程中體會整式乘法與因式分解之間的聯繫。

2、透過公式a -b =(a+b)(a-b)的逆向變形，進一步發展觀察、歸納、類比、等能力，發展有條理地思考及語言表達能力。

3、能運用提公因式法、公式法進行綜合運用。

4、透過活動4，能將高偶指數冪轉化爲2次指數冪，培養學生的化歸思想。

教學重點和難點

　重點： 靈活運用平方差公式進行分解因式。

　難點：平方差公式的推導及其運用，兩種因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的綜合運用。

數學因式分解教案 5

教學目標

1、 會運用因式分解進行簡單的多項式除法。

2、 會運用因式分解解簡單的方程。

二、教學重點與難點教學重點：

教學重點

因式分解在多項式除法和解方程兩方面的應用。

教學難點：

應用因式分解解方程涉及較多的推理過程。

三、教學過程

（一）引入新課

1、 知識回顧（1） 因式分解的幾種方法： ①提取公因式法： ma+mb=m（a+b） ②應用平方差公式： = （a+b） （a—b）③應用完全平方公式：a 2ab+b =（ab） （2） 課前熱身： ①分解因式：（x +4） y — 16x y

（二）師生互動，講授新課

1、運用因式分解進行多項式除法例1 計算： （1） （2ab —8a b） （4a—b）（2）（4x —9） （3—2x）解：（1） （2ab —8a b）（4a—b） =—2ab（4a—b） （4a—b） =—2ab （2） （4x —9） （3—2x） =（2x+3）（2x—3） [—（2x—3）] =—（2x+3） =—2x—3

一個小問題 ：這裏的x能等於3/2嗎 ？爲什麼？

想一想：那麼（4x —9） （3—2x） 呢？練習：課本P162課內練習

合作學習

想一想：如果已知 （ ）（ ）=0 ，那麼這兩個括號內應填入怎樣的數或代數式子才能夠滿足條件呢？ （讓學生自己思考、相互之間討論！）事實上，若AB=0 ，則有下面的結論：（1）A和B同時都爲零，即A=0，且B=0（2）A和B中有一個爲零，即A=0，或B=0

試一試：你能運用上面的'結論解方程（2x+1）（3x—2）=0 嗎？3、 運用因式分解解簡單的方程例2 解下列方程： （1） 2x +x=0 （2） （2x—1） =（x+2） 解：x（x+1）=0 解：（2x—1） —（x+2） =0則x=0，或2x+1=0 （3x+1）（x—3）=0原方程的根是x1=0，x2= 則3x+1=0，或x—3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一個未知數的方程的解也叫做根，當方程的根多於一個時，常用帶足標的字母表示，比如：x1 ，x2

等練習：課本P162課內練習2

做一做！對於方程：x+2=（x+2） ，你是如何解該方程的，方程左右兩邊能同時除以（x+2）嗎？爲什麼？

教師總結：運用因式分解解方程的基本步驟（1）如果方程的右邊是零，那麼把左邊分解因式，轉化爲解若干個一元一次方程；（2）如果方程的兩邊都不是零，那麼應該先移項，把方程的右邊化爲零以後再進行解方程；遇到方程兩邊有公因式，同樣需要先進行移項使右邊化爲零，切忌兩邊同時除以公因式！4、知識延伸解方程：（x +4） —16x =0解：將原方程左邊分解因式，得 （x +4） —（4x） =0（x +4+4x）（x +4—4x）=0（x +4x+4）（x —4x+4）=0 （x+2） （x—2） =0接着繼續解方程，5、 練一練 ①已知 a、b、c爲三角形的三邊，試判斷 a —2ab+b —c 大於零？小於零？等於零？解： a —2ab+b —c =（a—b） —c =（a—b+c）（a—b—c）∵ a、b、c爲三角形的三邊 a+c ﹥b a﹤b+c a—b+c﹥0 a—b—c ﹤0即：（a—b+c）（a—b—c） ﹤0 ，因此 a —2ab+b —c 小於零。6、 挑戰極限①已知：x=20xx，求∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6的值。解： ∵4x — 4x+3= （4x —4x+1）+2 = （2x—1） +2 0x +2x+2 = （x +2x+1）+1 = （x+1） +10 ∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6= 4x — 4x+3 —4（x +2x+2 ） +13x+6= 4x — 4x+3 —4x —8x —8+13x+6= x+1即：原式= x+1=20xx+1=20xx

（三）梳理知識，總結收穫因式分解的兩種應用：

（1）運用因式分解進行多項式除法

（2）運用因式分解解簡單的方程

（四）佈置課後作業

作業本6、42、課本P163作業題（選做）

數學因式分解教案 6

　（一）學習目標

1、會用因式分解進行簡單的多項式除法

2、會用因式分解解簡單的方程

（二）學習重難點重點：因式分解在多項式除法和解方程中兩方面的應用。

難點：應用因式分解解方程涉及到的較多的推理過程是本節課的難點。

　（三）教學過程設計

看一看

1.應用因式分解進行多項式除法.多項式除以多項式的一般步驟：

①________________②__________

2.應用因式分解解簡單的一元二次方程.

依據__________,一般步驟:__________

做一做

1.計算：

(1)(-a2b2+16)÷(4-ab);

(2)(18x2-12xy+2y2)÷(3x-y).

2.解下列方程：

(1)3x2+5x=0;

(2)9x2=(x-2)2;

(3)x2-x+=0.

3.完成課後練習題

想一想

你還有哪些地方不是很懂?請寫出來。

____________________________________

（四）預習檢測

1.計算：

2.先請同學們思考、討論以下問題：

(1)如果A×5=0，那麼A的`值

(2)如果A×0=0，那麼A的值

(3)如果AB=0，下列結論中哪個正確( )

①A、B同時都爲零，即A=0，

且B=0;

②A、B中至少有一個爲零，即A=0，或B=0;

（五）應用探究

1.解下列方程

2.化簡求值：已知x-y=-3,-x+3y=2，求代數式x2-4xy+3y2的值

（六）拓展提高：

解方程：

1、(x2+4)2-16x2=0

2、已知a、b、c爲三角形的三邊，試判斷a2-2ab+b2-c2大於零?小於零?等於零?

（七）堂堂清練習

1.計算

2.解下列方程

①7x2+2x=0

②x2+2x+1=0

③x2=(2x-5)2

④x2+3x=4x

數學因式分解教案 7

教學目標

1．知識與技能

瞭解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關係．

2．過程與方法

經歷從分解因數到分解因式的類比過程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解決問題中的作用．

3．情感、態度與價值觀

在探索因式分解的方法的活動中，培養學生有條理的思考、表達與交流的能力，培養積極的進取意識，體會數學知識的內在含義與價值．

重、難點與關鍵

1．重點：瞭解因式分解的意義，感受其作用．

2．難點：整式乘法與因式分解之間的關係．

3．關鍵：透過分解因數引入到分解因式，並進行類比，加深理解．

教學方法

採用“激趣導學”的教學方法．

教學過程

一、創設情境，激趣匯入

【問題牽引】

請同學們探究下面的2個問題：

問題1：720能被哪些數整除？談談你的想法．

問題2：當a=102，b=98時，求a2－b2的值．

二、豐富聯想，展示思維

探索：你會做下面的填空嗎？

1．ma+mb+mc=（ ）（ ）；

2．x2－4=（ ）（ ）；

3．x2－2xy+y2=（ ）2．

【師生共識】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．

三、小組活動，共同探究

【問題牽引】

（1）下列各式從左到右的變形是否爲因式分解：

①（x+1）（x－1）=x2－1；

②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；

③7x－7=7（x－1）．

（2）在下列括號裏，填上適當的項，使等式成立．

①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）；

②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2．

四、隨堂練習，鞏固深化

課本練習．

【探研時空】計算：993－99能被100整除嗎？

五、課堂總結，發展潛能

由學生自己進行小結，教師提出如下綱目：

1．什麼叫因式分解？

2．因式分解與整式運算有何區別？

六、佈置作業，專題突破

選用補充作業．

板書設計

15.4.1 因式分解

1、因式分解 例：

練習：

15.4.2 提公因式法

教學目標

1．知識與技能

能確定多項式各項的公因式，會用提公因式法把多項式分解因式．

2．過程與方法

使學生經歷探索多項式各項公因式的過程，依據數學化歸思想方法進行因式分解．

3．情感、態度與價值觀

培養學生分析、類比以及化歸的思想，增進學生的合作交流意識，主動積極地積累確定公因式的初步經驗，體會其應用價值．

重、難點與關鍵

1．重點：掌握用提公因式法把多項式分解因式．

2．難點：正確地確定多項式的最大公因式．

3．關鍵：提公因式法關鍵是如何找公因式．方法是：一看係數、二看字母．公因式的係數取各項係數的最大公約數；字母取各項相同的字母，並且各字母的指數取最低次冪．

教學方法

採用“啓發式”教學方法．

教學過程

一、回顧交流，匯入新知

【複習交流】

下列從左到右的變形是否是因式分解，爲什麼？

（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；

（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；

（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．

問題：

1．多項式mn+mb中各項含有相同因式嗎？

2．多項式4x2－x和xy2－yz－y呢？

請將上述多項式分別寫成兩個因式的乘積的形式，並說明理由．

【教師歸納】我們把多項式中各項都有的公共的因式叫做這個多項式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y．

概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

二、小組合作，探究方法

【教師提問】 多項式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各項的公因式是什麼？

【師生共識】提公因式的方法是先確定各項的公因式再將多項式除以這個公因式得到另一個因式，找公因式一看係數、二看字母，公因式的係數取各項係數的最大公約數；字母取各項相同的字母，並且各字母的指數取最低次冪．

三、範例學習，應用所學

【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．

解：－4x2yz－12xy2z+4xyz

=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）

=－4xyz（x+3y－1）

【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2

【思路點撥】觀察所給多項式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，於是有兩種變形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，從而得到下面兩種分解方法．

解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2

=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2

=－[（y－x）23a2（y－x）+4b2（y－x）2]

=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]

=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）

解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2

=（x－y）23a2（x－y）－4b2（x－y）2

=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]

=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）

【例3】用簡便的方法計算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．

【教師活動】引導學生觀察並分析怎樣計算更爲簡便．

解：0.84×12+12×0.6－0.44×12

=12×（0.84+0.6－0.44）

=12×1=12．

【教師活動】在學生完全例3之後，指出例3是因式分解在計算中的應用，提出比較例1，例2，例3的公因式有什麼不同？

四、隨堂練習，鞏固深化

課本P167練習第1、2、3題．

【探研時空】

利用提公因式法計算：

0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69

五、課堂總結，發展潛能

1．利用提公因式法因式分解，關鍵是找準最大公因式．在找最大公因式時應注意：（1）係數要找最大公約數；（2）字母要找各項都有的；（3）指數要找最低次冪．

2．因式分解應注意分解徹底，也就是說，分解到不能再分解爲止．

六、佈置作業，專題突破

課本P170習題15．4第1、4（1）、6題．

板書設計

15.4.2 提公因式法

1、提公因式法 例：

練習：

15.4.3 公式法（一）

教學目標

1．知識與技能

會應用平方差公式進行因式分解，發展學生推理能力．

2．過程與方法

經歷探索利用平方差公式進行因式分解的過程，發展學生的逆向思維，感受數學知識的完整性．

3．情感、態度與價值觀

培養學生良好的互動交流的習慣，體會數學在實際問題中的應用價值．

重、難點與關鍵

1．重點：利用平方差公式分解因式．

2．難點：領會因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性．

3．關鍵：應用逆向思維的方向，演繹出平方差公式，對公式的應用首先要注意其特徵，其次要做好式的變形，把問題轉化成能夠應用公式的方面上來．

教學方法

採用“問題解決”的教學方法，讓學生在問題的牽引下，推進自己的思維．

教學過程

一、觀察探討，體驗新知

【問題牽引】

請同學們計算下列各式．

（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．

【學生活動】動筆計算出上面的兩道題，並踊躍上臺板演．

（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；

（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．

【教師活動】引導學生完成下面的兩道題目，並運用數學“互逆”的思想，尋找因式分解的規律．

1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．

【學生活動】從逆向思維入手，很快得到下面答案：

（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．

（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．

【教師活動】引導學生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的'同時，匯出課題：用平方差公式因式分解．

平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．

評析：平方差公式中的字母a、b，教學中還要強調一下，可以表示數、含字母的代數式（單項式、多項式）．

二、範例學習，應用所學

【例1】把下列各式分解因式：（投影顯示或板書）

（1）x2－9y2； （2）16x4－y4；

（3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2；

（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．

【思路點撥】在觀察中發現1～5題均滿足平方差公式的特徵，可以使用平方差公式因式分解．

【教師活動】啓發學生從平方差公式的角度進行因式分解，請5位學生上講臺板演．

【學生活動】分四人小組，合作探究．

解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；

（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；

（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；

（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x－y）；

（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）

=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．

三、隨堂練習，鞏固深化

課本P168練習第1、2題．

【探研時空】

1．求證：當n是正整數時，n3－n的值一定是6的倍數．

2．試證兩個連續偶數的平方差能被一個奇數整除．連續偶數的平方差能被一個奇數整除．

四、課堂總結，發展潛能

運用平方差公式因式分解，首先應注意每個公式的特徵．分析多項式的次數和項數，然後再確定公式．如果多項式是二項式，通常考慮應用平方差公式；如果多項式中有公因式可提，應先提取公因式，而且還要“提”得徹底，最後應注意兩點：一是每個因式要化簡，二是分解因式時，每個因式都要分解徹底．

五、佈置作業，專題突破

課本P171習題15．4第2、4（2）、11題．

板書設計

15.4.3 公式法（一）

1、平方差公式： 例：

a2－b2=（a+b）（a－b） 練習：

15.4.3 公式法（二）

教學目標

1．知識與技能

領會運用完全平方公式進行因式分解的方法，發展推理能力．

2．過程與方法

經歷探索利用完全平方公式進行因式分解的過程，感受逆向思維的意義，掌握因式分解的基本步驟．

3．情感、態度與價值觀

培養良好的推理能力，體會“化歸”與“換元”的思想方法，形成靈活的應用能力．

重、難點與關鍵

1．重點：理解完全平方公式因式分解，並學會應用．

2．難點：靈活地應用公式法進行因式分解．

3．關鍵：應用“化歸”、“換元”的思想方法，把問題進行形式上的轉化，達到能應用公式法分解因式的目的．

教學方法

採用“自主探究”教學方法，在教師適當指導下完成本節課內容．

教學過程

一、回顧交流，匯入新知

【問題牽引】

1．分解因式：

（1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2；

（3） x2－0.01y2．

數學因式分解教案 8

一、教學目標

（一）、知識與技能：

（1）使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念。

（2）認識因式分解與整式乘法的相互關係——互逆關係，並能運用這種關係尋求因式分解的方法。

（二）、過程與方法：

（1）由學生自主探索解題途徑，在此過程中，透過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關係，培養學生的觀察能力，進一步發展學生的類比思想。

（2）由整式乘法的逆運算過渡到因式分解，發展學生的逆向思維能力。

（3）透過對分解因式與整式的乘法的觀察與比較，培養學生的分析問題能力與綜合應用能力。

（三）、情感態度與價值觀：讓學生初步感受對立統一的辨證觀點以及實事求是的科學態度。

二、教學重點和難點

重點：因式分解的概念及提公因式法。

難點：正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯繫。

三、教學過程

教學環節：

活動1：複習引入

看誰算得快：用簡便方法計算：

（1）7/9 ×13-7/9 ×6+7/9 ×2= ；

（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= ；

（3）992–1= 。

設計意圖：

如果說學生對因式分解還相當陌生的話，相信學生對用簡便方法進行計算應該相當熟悉．引入這一步的目的旨在讓學生透過回顧用簡便方法計算——因數分解這一特殊算法，使學生透過類比很自然地過渡到正確理解因式分解的概念上，從而爲因式分解的掌握掃清障礙，本環節設計的計算992–1的值是爲了降低下一環節的難度，爲下一環節的理解搭一個臺階．

注意事項：學生對於（1）（2）兩小題逆向利用乘法的分配律進行運算的方法是很熟悉，對於第（3）小題的逆向利用平方差公式的運算則有一定的困難，因此，有必要引導學生複習七年級所學過的整式的乘法運算中的平方差公式，幫助他們順利地逆向運用平方差公式。

活動2：匯入課題

P165的探究（略）；

2. 看誰想得快：993–99能被哪些數整除？你是怎麼得出來的？

設計意圖：

引導學生把這個式子分解成幾個數的積的形式，繼續強化學生對因數分解的理解，爲學生類比因式分解提供必要的精神準備。

活動3：探究新知

看誰算得準：

計算下列式子：

（1）3x(x-1)= ；

（2）(a+b+c)= ；

（3）（+4）(-4)= ；

（4）（-3）2= ；

（5）a(a+1)(a-1)= ；

根據上面的算式填空：

（1）a+b+c= ；

（2）3x2-3x= ；

（3）2-16= ；

（4）a3-a= ；

（5）2-6+9= 。

在第一組的整式乘法的'計算上，學生透過對第一組式子的觀察得出第二組式子的結果，然後透過對這兩組式子的結果的比較，使學生對因式分解有一個初步的意識，由整式乘法的逆運算逐步過渡到因式分解，發展學生的逆向思維能力。

活動4：歸納、得出新知

比較以下兩種運算的聯繫與區別：

a(a+1)(a-1)= a3-a

a3-a= a(a+1)(a-1)

在第三環節的運算中還有其它類似的例子嗎？除此之外，你還能找到類似的例子嗎？

數學因式分解教案 9

第1課時

1.使學生了解因式分解的意義,瞭解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形.

2.讓學生會確定多項式中各項的公因式,會用提公因式法進行因式分解.

自主探索,合作交流.

1.透過與因數分解的類比,讓學生感悟數學中數與式的共同點,體驗數學的類比思想.

2.透過對因式分解的教學,培養學生“換元”的意識.

【重點】 因式分解的概念及提公因式法的應用.

【難點】 正確找出多項式中各項的公因式.

【教師準備】 多媒體.

【學生準備】 複習有關乘法分配律的知識.

匯入一:

【問題】 一塊場地由三個長方形組成,這些長方形的長分別爲,,,寬都是,求這塊場地的面積.

解法1:這塊場地的面積=×+×+×=++==2.

解法2:這塊場地的面積=×+×+×=×=×4=2.

從上面的解答過程看,解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化爲幾個整式的積的形式,而提公因式法就是將多項式化爲幾個整式的積的形式的一種方法.

[設計意圖] 讓學生透過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而爲提公因式法的掌握打下基礎.

匯入二:

【問題】 計算×15-×9+×2採用什麼方法?依據是什麼?

解法1:原式=-+==5.

解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.

解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化爲幾個整式的積的形式,而提公因式法就是把多項式化爲幾個整式的積的形式的一種方法.

[設計意圖] 讓學生透過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而爲提公因式法的掌握打下基礎.

一、提公因式法分解因式的概念

思路一

[過渡語] 上一節我們學習了什麼是因式分解,那麼怎樣進行因式分解呢?我們來看下面的問題.

如果一塊場地由三個長方形組成,這三個長方形的長分別爲a,b,c,寬都是,那麼這塊場地的面積爲a+b+c或(a+b+c),可以用等號來連接,即:a+b+c=(a+b+c).

大家注意觀察這個等式,等式左邊的每一項有什麼特點?各項之間有什麼聯繫?等式右邊的項有什麼特點?

分析:等式左邊的每一項都含有因式,等式右邊是與多項式a+b+c的乘積,從左邊到右邊的過程是因式分解.

由於是左邊多項式a+b+c中的各項a,b,c都含有的一個相同因式,因此叫做這個多項式各項的公因式.

由上式可知,把多項式a+b+c寫成與多項式a+b+c的乘積的形式,相當於把公因式從各項中提出來,作爲多項式a+b+c的一個因式,把從多項式a+b+c的各項中提出後形成的多項式a+b+c,作爲多項式a+b+c的另一個因式.

總結:如果一個多項式的'各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

[設計意圖] 透過實例的教學,使學生明白什麼是公因式和用提公因式法分解因式.

思路二

[過渡語] 同學們,我們來看下面的問題,看看同學們誰先做出來.

多項式 ab+ac中,各項都含有相同的因式嗎?多項式 3x2+x呢?多項式b2+nb-b呢?

結論:多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式.

多項式2x2+6x3中各項的公因式是什麼?你能嘗試將多項式2x2+6x3因式分解嗎?

結論:如果一個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

[設計意圖] 從讓學生找出幾個簡單多項式的公因式,再到讓學生嘗試將多項式分解因式,使學生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.

二、例題講解

[過渡語] 剛剛我們學習了因式分解的一種方法,現在我們嘗試下利用這種方法進行因式分解吧.

(教材例1)把下列各式因式分解:

(1)3x+x3;

(2)7x3-21x2;

(3)8a3b2-12ab3c+ab;

(4)-24x3+12x2-28x.

〔解析〕 首先要找出各項的公因式,然後再提取出來.要避免提取公因式後,各項中還有公因式,即“沒提徹底”的現象.

解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).

(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).

(3)8a3b2-12ab3c+ab

=ab8a2b-ab12b2c+ab1

=ab(8a2b-12b2c+1).

(4)-24x3+12x2-28x

=-(24x3-12x2+28x)

=-(4x6x2-4x3x+4x7)

=-4x(6x2-3x+7).

【學生活動】 透過剛纔的練習,大家互相交流,總結出提取公因式的一般步驟和容易出現的問題.

總結:提取公因式的步驟:(1)找公因式;(2)提公因式.

容易出現的問題(以本題爲例):(1)第(2)題中只提出7x作爲公因式;(2)第(3)題中最後一項提出ab後,漏掉了“+1”;(3)第(4)題提出“-”號時,沒有把後面的因式中的每一項都變號.

教師提醒:

(1)各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分;

(2)因式分解後括號內的多項式的項數與原多項式的項數相同;

(3)若多項式的首項爲“-”,則先提取“-”號,然後再提取其他公因式;

(4)將分解因式後的式子再進行整式的乘法運算,其積應與原式相等.

[設計意圖] 經歷用提公因式法進行因式分解的過程,在教師的啓發與指導下,學生自己歸納出提公因式的步驟及提取公因式時容易出現的類似問題,爲提取公因式積累經驗.

1.提公因式法分解因式的一般形式,如:

a+b+c=(a+b+c).

這裏的字母a,b,c,可以是一個係數不爲1的、多字母的、冪指數大於1的單項式.

2.提公因式法分解因式的關鍵在於發現多項式的公因式.

3.找公因式的一般步驟:

(1)若各項係數是整係數,則取係數的最大公約數;

(2)取各項中相同的字母,字母的指數取最低的;

(3)所有這些因式的乘積即爲公因式.

1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )

A.-6ab2cB.-ab2

C.-6ab2D.-6a3b2c

解析:根據確定多項式各項的公因式的方法,可知公因式爲-6ab2.故選C.

2.下列用提公因式法分解因式正確的是( )

A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)

B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)

C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)

D.x2+5x-=(x2+5x)

解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),錯誤;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),錯誤;D.x2+5x-=(x2+5x-1),錯誤.故選C.

3.下列多項式中應提取的公因式爲5a2b的是( )

A.15a2b-20a2b2

B.30a2b3-15ab4-10a3b2

C.10a2b-20a2b3+50a4b

D.5a2b4-10a3b3+15a4b2

解析:B.應提取公因式5ab2,錯誤;C.應提取公因式10a2b,錯誤;D.應提取公因式5a2b2,錯誤.故選A.

4.填空.

(1)5a3+4a2b-12abc=a( );

(2)多項式32p2q3-8pq4的公因式是 ;

(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);

(4)因式分解:+n= ;

(5)-15a2+5a= (3a-1);

(6)計算:21×3.14-31×3.14= .

答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.4

5.用提公因式法分解因式.

(1)8ab2-16a3b3;

(2)-15x-5x2;

(3)a3b3+a2b2-ab;

(4)-3a3-6a2+12a.

解:(1)8ab2(1-2a2b).

(2)-5x(3+x).

(3)ab(a2b2+ab-1).

(4)-3a(a2+2a-4).

第1課時

一、教材作業

【必做題】

教材第96頁隨堂練習.

【選做題】

教材第96頁習題4.2.

二、課後作業

【基礎鞏固】

1.把多項式4a2b+10ab2分解因式時,應提取的公因式是 .

2.(20xx淮安中考)因式分解:x2-3x= .

3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .

【能力提升】

4.把下列各式因式分解.

(1)3x2-6x;

(2)5x23-25x32;

(3)-43+162-26;

(4)15x32+5x2-20x23.

【拓展探究】

5.分解因式:an+an+2+a2n.

6.觀察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….這列式子有什麼規律?請你將猜想到的規律用含有字母n(n爲自然數)的式子表示出來.

【答案與解析】

1.2ab

2.x(x-3)

3.(2x2-3x+42)

4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).

5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).

6.解:由題中給出的幾個式子可得出規律:n2+n=n(n+1).

本節運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,使學生易於理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由提公因數到提公因式,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,都是利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕鬆自然,容易理解.

在小組討論之前,應該留給學生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考,掩蓋了其他學生的疑問.

由於因式分解的主要目的是對多項式進行恆等變形,它的作用更多的是應用於多項式的計算和化簡,比如在以後將要學習的分式運算、解分式方程等中都要用到因式分解的知識,因此應該注重因式分解的概念和方法的教學.

隨堂練習(教材第96頁)

解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).

習題4.2(教材第96頁)

1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1). (3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).

2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.

3.解:(1)不正確,因爲提取的公因式不對,應爲n(2n--1). (2)不正確,因爲提取公因式-b後,第三項沒有變號,應爲-b(ab-2a+3). (3)正確. (4)不正確,因爲最後的結果不是乘積的形式,應爲(a-2)(a+1).

提公因式法是本章的第2小節,佔兩個課時,這是第一課時,它主要讓學生經歷從乘法分配律的逆運算到提公因式的過程,讓學生體會數學中的一種主要思想——類比思想.運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,可以使學生易於理解和掌握.如學生在接受提公因式法時,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,就利用了類比的數學思想,從而使得學生接受新的概念時顯得輕鬆自然,容易理解,進而使學生進一步理解因式分解與整式乘法運算之間的互逆關係.

已知方程組求7(x-3)2-2(3-x)3的值.

〔解析〕 將代數式分解因式,產生x-3與2x+兩個因式,再根據方程組整體代入,使計算簡便.

解:7(x-3)2-2(3-x)3

=(x-3)2[7+2(x-3)]

=(x-3)2(7+2x-6)

=(x-3)2(2x+).

由方程組可得原式=12×6=6.

數學因式分解教案 10

一、教材分析

1、教材的地位與作用

“整式的乘法”是整式的加減的後續學習從冪的運算到各種整式的乘法，整章教材都突出了學生的自主探索過程，依據原有的知識基礎，或運用乘法的各種運算規律，或藉助直觀而又形象的圖形面積，得到各種運算的基本法則、兩個主要的乘法公式及因式分解的基本方法學生自己對知識內容的探索、認識與體驗，完全有利於學生形成合理的知識結構，提高數學思維能力．利用公式法進行因式分解時，注意把握多項式的特點，對比乘法公式乘積結果的形式，選擇正確的分解方法。

因式分解是一種常用的代數式的恆等變形，因式分解是多項式乘法公式的逆向變形，它是將一個多項式變形爲多項式與多項式的乘積。

2、教學目標

（1）會推導乘法公式

（2）在應用乘法公式進行計算的基礎上，感受乘法公式的作用和價值。

（3）會用提公因式法、公式法進行因式分解。

（4）瞭解因式分解的一般步驟。

（5）在因式分解中，經歷觀察、探索和做出推斷的過程，提高分析問題和解決問題的能力。

3、重點、難點和關鍵

重點：乘法公式的意義、分式的由來和正確運用；用提公因式法和公式法進行因式分解。

難點：正確運用乘法公式；正確分解因式。

關鍵：正確理解乘法公式和因式分解的意義。

二、本單元教學的方法和策略：

1．注重知識形成的.探索過程，讓學生在探索過程中領悟知識，在領悟過程中建構體系，從而更好地實現知識體系的更新和知識的正向遷移．

2．知識內容的呈現方式力求與學生已有的知識結構相聯繫，同時兼顧學生的思維水平和心理特徵．

3．讓學生掌握基本的數學事實與數學活動經驗，減輕不必要的記憶負擔．

4．注意從生活中選取素材，給學生提供一些交流、討論的空間，讓學生從中體會數學的應用價值，逐步養成談數學、想數學、做數學的良好習慣．

三、課時安排：

2.1平方差公式 1課時

2.2完全平方公式 2課時

2.3用提公因式法進行因式分解 1課時

2.4用公式法進行因式分解 2課時