《最大值和最小值問題》教案設計

《最大值和最小值問題》教案設計

一、複習引入：

1.極大值： 一般地，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點

2.極小值：一般地，設函數f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點

3.極大值與極小值統稱爲極值注意以下幾點：

（?）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小並不意味着它在函數的整個的定義域內最大或最小

（?）函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個

（?）極大值與極小值之間無確定的大小關係即一個函數的極大值未必大於極小值，如下圖所示， 是極大值點， 是極小值點，而 >

（?）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成爲極值點

而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點

二、講解新課：

1.函數的最大值和最小值

觀察圖中一個定義在閉區間 上的函數 的圖象．圖中 與 是極小值， 是極大值．函數 在 上的最大值是 ，最小值是 ．

一般地，在閉區間 上連續的`函數 在 上必有最大值與最小值．

說明：⑴在開區間 內連續的函數 不一定有最大值與最小值．如函數 在 內連續，但沒有最大值與最小值；

⑵函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．

⑶函數 在閉區間 上連續，是 在閉區間 上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．

(4)函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個

⒉利用導數求函數的最值步驟:

由上面函數 的圖象可以看出，只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．

設函數 在 上連續，在 內可導，則求 在 上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求 在 內的極值；

⑵將 的各極值與 、 比較得出函數 在 上的最值

　三、講解範例：

例1求函數 在區間 上的最大值與最小值

例2已知x,y爲正實數，且滿足 ，求 的取值範圍

例3.設 ,函數 的最大值爲1,最小值爲 ,求常數a,b

例4已知 , ∈(0,+∞).是否存在實數 ,使 同時滿足下列兩個條件：（1） )在（0，1）上是減函數，在［1，+∞)上是增函數；（2） 的最小值是1，若存在，求出 ，若不存在，說明理由.

四、課堂練習：

1．下列說法正確的是( )

A.函數的極大值就是函數的最大值 B.函數的極小值就是函數的最小值

C.函數的最值一定是極值 D.在閉區間上的連續函數一定存在最值

2.函數y=f(x)在區間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( )

A.等於0B.大於0 C.小於0D.以上都有可能

3.函數y= ，在［－1，1］上的最小值爲( )

A.0B.－2 C.－1D.

4.函數y= 的最大值爲( )。A. B.1 C. D.

5.設y=x3,那麼y在區間［－3，－1］上的最小值是( )

A.27B.－3 C.－1D.1

6.設f(x)=ax3－6ax2+b在區間［－1，2］上的最大值爲3，最小值爲－29，且a>b,則( )

A.a=2,b=29B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3

五、小結 ：

⑴函數在閉區間上的最值點必在下列各種點之中：導數等於零的點，導數不存在的點，區間端點；

⑵函數 在閉區間 上連續，是 在閉區間 上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；