最新數學教學計劃模板:集合之間的關係與運算

整體設計

教學分析

課本從學生熟悉的集合出發，結合實例，透過類比實數加法運算引入集合間的運算，同時，結合相關內容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內容時，課本繼續注重體現邏輯思考的方法，如類比等.

值得注意的問題：在全集和補集的教學中，應注意利用圖形的直觀作用，幫助學生理解補集的概念，並能夠用直觀圖進行求補集的運算.

三維目標

1.理解兩個集合的並集與交集、全集的含義，掌握求兩個簡單集合的交集與並集的方法，會求給定子集的補集，感受集合作爲一種語言，在表示數學內容時的簡潔和準確，進一步提高類比的能力.

2.透過觀察和類比，藉助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養數形結合的思想.

重點難點

教學重點：交集與並集、全集與補集的概念.

教學難點：理解交集與並集的概念，以及符號之間的區別與聯繫.

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

作者：尚大志

匯入新課

思路1.我們知道，實數有加法運算，兩個實數可以相加，例如5+3=8.類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢?教師直接點出課題.

思路2.請同學們考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A，B之間的關係嗎?

(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理數}，B={x|x是無理數}，C={x|x是實數}.

引導學生透過觀察、類比、思考和交流，得出結論.教師強調集合也有運算，這就是我們本節課所要學習的內容.

思路3.(1)①如圖1甲和乙所示，觀察兩個圖的陰影部分，它們分別同集合A、集合B有什麼關係?

圖1

②觀察集合A，B與集合C={1,2,3,4}之間的關係.

學生思考交流並回答，教師直接指出這就是本節課學習的課題：集合的.基本運算.

(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，寫出由集合A，B中的所有元素組成的集合C.

②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在數軸上表示出集合A與B，並寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)透過上述問題中集合A，B與集合C之間的關係，類比實數的加法運算，你發現了什麼?

(2)用文字語言來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關係.

(3)用數學符號來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關係.

(4)試用Venn圖表示A∪B=C.

(5)請給出集合的並集定義.

(6)求集合的並集是集合間的一種運算，那麼，集合間還有其他運算嗎?

請同學們考察下面的問題，集合A，B與集合C之間有什麼關係?

①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

②A={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級女同學}，B={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級男同學}，C={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級同學}.

(7)類比集合的並集，請給出集合的交集定義，並分別用三種不同的語言形式來表達.

活動：先讓學生思考或討論問題，然後再回答，經教師提示、點撥，並對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路，主要引導學生髮現集合的並集和交集運算並能用數學符號來刻畫，用Venn圖來表示.

討論結果：(1)集合之間也可以相加，也可以進行運算，但是爲了不和實數的運算相混淆，規定這種運算不叫集合的加法，而是叫做求集合的並集.集合C叫集合A與B的並集.記爲A∪B=C，讀作A並B.

(2)所有屬於集合A或屬於集合B的元素組成了集合C.

(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

(4)如圖1所示.

(5)一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，稱爲集合A與B的並集.其含義用符號表示爲A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn圖表示，如圖1所示.

(6)集合之間還可以求它們的公共元素組成的集合，這種運算叫求集合的交集，記作A∩B，讀作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

(7)一般地，由屬於集合A且屬於集合B的所有元素組成的集合，稱爲A與B的交集.

其含義用符號表示爲：

A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

用Venn圖表示，如圖2所示.

圖2

應用示例

例1 集合A={x|x<5 b="{x|x">0}，C={x|x≥10}，則A∩B，B∪C，A∩B∩C分別是什麼?

變式訓練

1.設集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

解：對任意m∈A，則有m=2n=2?2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那麼m∈B，即對任意m∈A有m∈B，所以A?B.

而10∈B但10 A，即A B，那麼A∩B=A，A∪B=B.

2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數.

解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};還可含1或2其中一個，有{1,3}，{2,3};還可含1和2，即{1,2,3}，那麼共有4個滿足條件的集合B.

3.設集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

解：∵A∩B={9}，則9∈A，a-1=9或a2=9.

∴a=10或a=±3.

當a=10時，a-5=5 ,1-a=-9;

當a=3時，a-1=2不合題意;

當a=-3時，a-1=-4不合題意.

故a=10.此時A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，滿足A∩B={9}.

4.設集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

A.{x|-3

C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

觀察或由數軸得A∩B={x|-3

答案：A

例2 設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

活動：明確集合A，B中的元素，教師和學生共同探討滿足A∩B=B的集合A，B的關係.集 合A是方程x2+4x=0的解組成的集合，可以發現，B?A，透過分類討論集合B是否爲空集來求a的值.利用集合的表示 法來認識集合A，B均是方程的解集，透過畫Venn圖發現集合A，B的關係，從數軸上分析求得a的值.

解：由題意得A={-4,0}.

∵A∩B=B，∴B?A.

∴B= 或B≠ .

當B= 時，即關於x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實數解，

則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

當B≠ 時，若集合B僅含有一個元素，則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

此時，B={x|x2=0}={0}?A，即a=-1符合題意.

若集合B含有兩個元素，則這兩個元素是-4,0，

即關於x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

則有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

解得a=1，則a=1符合題意.

綜上所得，a=1或a≤-1.