數學文化小報資料

數學作爲一種文化現象，早已是人們的常識。從歷史上看， 古希臘和文藝復興時期的文化名人，往往本身就是數學家。下面是小編收集的數學文化小報資料，希望大家認真閱讀！

數學傳統最悠久的國家

中國數學一開始便注重實際應用，在實踐中逐步完善和發展，形成了一套完全是自己獨創的方式和方法。形數結合，以算爲主，使用算器，建立一套算法體系是中國數學的顯著特色；“寓理於算”和理論的高度精煉，是中國數學理論的重要特徵。

10進位位值制、甲子紀年法、規矩作圖等有強大的生命力，經歷三四千年沿用至今，充分說明了中國是數學傳統最悠久的國家。

在中國數學的形成時期的第二階段，中國與印度有着文化交流，中國古代的算術和代數學對印度數學有很大的影響。後者也偏重於量與數的計算方法，透過阿拉伯傳到歐洲後，放出異常的光彩。西洋數學史家一般認爲近代數學的產生應歸功於印度數學的貢獻，實際上中國古代數學的功績是不可磨滅的。

在原始社會後期，我們的祖先就已經建立了10進制，至遲到春秋戰國之際，在計算中又普遍使用了算籌。在數學上，僅就發明完善的10進位位值制這一記數法來說，中國對人類文化已經做出了非常重大的貢獻，可以與“四大發明”相媲美。馬克思稱10進位位值記數法爲“最妙的發明之一”，李約瑟在《中國科學技術史》中說：“奇怪的是，忠實於表意原則而不使用字母的文化，反而發展了現代人類普遍使用的10進位的最早形式，如果沒有這種10進位制，就幾乎不可能出現我們現在這個統一化的世界了”。

有史可考的確鑿證據是，公元前14世紀的殷代甲骨文卜辭中的很多記數的文字。大於10的自然數都用10進位制，沒有例外。殷人向後世人一樣，用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬13個單字記10萬以內的任何自然數。例如記2656作“二千六百五十六”，只是記數文字的形體和後世的文字有所不同。也用合文，但字形同甲骨文不一樣。

用算籌來記數和作四則運算，很可能在西周時期(公元前11世紀到公元前8世紀)已經開始了。由於社會生產力的不斷提高，勞動人民創造了便於計算的.工具。算籌是爲了進行繁雜的數字計算工作而創造出來的，它不可能是原始公社時期裏(例如傳說中的黃帝時代)的產物。

算籌一般是由竹製成的籤子。秦以前算籌的粗細、長短因史科缺乏，現在無法考證。公元1世紀時，漢代的算籌長合13.8釐米，徑合0.69釐米；公元7世紀時，隋代的算籌長約合8.85釐米，廣約合0.59釐米。可見計算用的算籌漸漸改得短小，運用起來比較方便。

古代算籌的功用大致和後世的算盤珠相仿。5以下的數目，用幾根籌表示幾；6、7、8、9四個數目，用一根籌放在上面表示五，餘下來的數，每一根籌表示一。表示數目的算籌有縱橫兩種方式，表示一個多位數就象現在用數碼記數一樣，把各位的數目從左到右橫列，但各位數目的等式須要縱橫相間。個位數用縱式表示，十位數用橫式表示，百位、萬位用縱式，千位、十萬位用橫式。算籌記數的縱橫相間制傳到宋元時期沒有改變。

算籌記數確實能夠實行位值制記數法，爲加、減、乘、除等的運算建立起良好的條件。優越的10進位位值制記數法和當時較爲先進的籌算制，使中國數學在計算方面取得了一系列輝煌的成就：公元前3世紀～公元3世紀(秦漢時)的分數四則運算，比例算法，開平方與開立方，盈不足術，“方程”解法，正負數運算法則；5世紀的孫子剩餘定理，祖沖之圓周率的測算；7世紀的3次方程數值解法，7～8世紀的內插法；11～14世紀的高次方程數值解法，賈憲三角，高次方程組的解法，大衍求一術，高階等差級數求和；13世紀以後的珠算，等等。

中國古代數學稱爲“算術”，其原始意義是運用算籌的技術。這個名稱恰當地概括了中國數學的傳統。籌算不只限於簡單的數值計算，後來方程所列籌式描述了比例問題和線性問題；天元、四元所列籌式刻畫了高次方程問題。等式本身就具有代數符號的性質。

對於中國數學中的程序化計算，最近越來越多地引起了國內外有關專學的興趣和注意。有人形象地把算籌比喻爲計算機的硬件，而表示算法的“術文”則是軟件。可見中國數學傳統活力源遠流長。

下面再和幾個文明古國作一對比，以開闊眼界。

古代埃及人雖然己採用了10進位制的數學符號，可是他們缺乏位值制的概念，不知道重複用最初的九個數字加上位值成分來構成更高的位數。他們對所有的數字，都是按順序重複寫出每位數的基本符號(即用累積法)；古巴比倫人主要採用60進位制；古希臘人用24個希臘字母加上3個外來字母來記數，十分落後；古羅馬人採用10進位制和5進位制相結合的符號系統，計算起來繁瑣而困難；古印度人在3世紀以前使用的記數法與希臘式和羅馬式相類似，都不是位值創。直到6世紀末，印度才真正開始使用10進位位值記數法，7世紀開始傳入阿拉伯國家。

零號“0”最早出現於683年中、印文化區交界處的記有年代的碑文中。中國古代原習慣用“口”形表示脫落文字，記數時就用“口”表示空位，後來爲了書寫方便把“口”形改爲“0”形，這是很自然的發展趨勢。在數學上，從無開始記數，“0”這個符號使整個世界爲之改觀。

8世紀，阿拉伯人入侵西班牙，開始把印度—阿拉伯數碼傳到歐洲。現在使用的最完美的印度—阿拉伯記數法，是印度人首先創造的，但是它明顯地有着中國古代的影響。

最大數字的表示法

在古代人的心目中，對那些很大的數目字。如天上星星的顆數，岸邊砂子的粒數，一場傾盆大雨落下的雨滴數等等，他們無以名之，只好籠統地說是“不計其數”了。

首先提出記述龐大數字的人是公元前3世紀古希臘的數學家兼物理學家阿基米德，他在其名著《砂粒計數》中所提出的方法，同現代科中表達大數目字的方法很類似。

他從當時古希臘算術中最大的數“萬”開始，引進一個新數“萬萬”（億）作爲第二階單位，然後是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位）等等。

印度的大乘佛教中也有許多表示巨大數字的名稱，如“恆河沙”、“那由他”等等，最大的一個名叫“阿僧抵”。據說相當於10110。

在英文中通常用centillion表示最大的數字，其意思就是在1的後面再加600個零。較此更大的數便得用文字來說明。有人還設計出一個單詞milli—millimillillion，其意爲10的60億次方，也可叫Megiston，這個字普通用記號⑩來表示。但是因爲這個數字實在太龐大了，所以已經沒有什麼實質的意義。目前可觀察到的這部分宇宙（即總星系）中，質子和中子的'全部總數也不過是1080而已！已故的美國哥倫比亞大學教授、數學家愛德華·卡斯納創立了一個表示大數的詞，叫做googol，它相當於10100，從1010到10100則稱爲googol羣。

在數學界已爲人相當熟悉的最大數字，根據其創立者的姓，取名爲Skewes，這個數是10的10次方的10次方的3次方。首先提出的人史丘斯（Skewes）現系南非開普頓大學教授，他於1933年及1955年在兩篇有關素數的論文中提到過它。

我國古代珠算、籌算的歷史

我國古代數學以計算爲主，取得了十分輝煌的成就。其中十進位值制記數法、籌算和珠算在數學發展中所起的作用和顯示出來的優越性，在世界數學史上也是值得稱道的。

十進位值制記數法曾經被馬克思（1818—1883）稱爲“最妙的發明之一”①。

從有文字記載開始，我國的記數法就遵循十進制。殷代的甲骨文和西周的鐘鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等字的合文來記十萬以內的自然數的。例如二千六百五十六寫作（甲骨文），六百五十九寫作（鐘鼎文）。這種記數法含有明顯的位值制意義，實際上，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字樣取消，便和位值制記數法基本一樣了。

春秋戰國時期是我國從奴隸制轉變到封建制的時期，生產的迅速發展和科學技術的進步提出了大量比較複雜的數字計算問題。爲了適應這種需要，勞動人民創造了一種十分重要的計算方法——籌算。我們認爲籌算是完成千春秋戰國時期，理由是：第一，春秋戰國時期，農業、商業和天文曆法方面有了飛躍的發展，在這些領域中，出現了大量比以前複雜得多的計算問題。由於井田制的廢除，各種形狀的私田相繼出現，並相應實行按畝收稅的制度，這就需要計算複雜形狀的土地面積和產量：商業貿易的增加和貨幣的廣泛使用，提出了大量比例換算的問題，適應當時農業需要的厲法，要計算多位數的乘法和除法。爲了解決這些複雜的計算問題，才創造出計算工具算籌和計算方法籌算。第二，現有的文獻和文物也證明籌算出現在春秋戰國時期。例如“算”和“籌”二字出現在春秋戰國時期的著作（如《儀禮》、《孫子》、《老子》、《法經》、《管子》、《荀子》等）中，甲骨文和鐘鼎文中到現在仍沒有見到這兩個字。一二三以外的籌算數字最早出現在戰國時期的貨幣（刀、布）上。《老子》提到：“善計者不用籌策”，可見這時籌算已經比較普遍了。因此我們說籌算是完成幹春秋戰國時期。這並不否認在春秋戰國時期以前就有簡單的算籌記數和簡單的四則運算。

關於算籌形狀和大小，最早見於《漢書·律曆志》。根據記載，算籌是直徑一分（合○·二三釐米）、長六寸（合一三·八六釐米）的圓形竹棍，以二百七十一根爲一“握”。南北朝時期公元六世紀《數術記遺》和《隋書· 律曆志》記載的算籌，長度縮短，並且把圓的改成方的或扁的。這種改變是容易理解的：長度縮短是爲了縮小布算所佔的面積，以適應更加複雜的計算；圓的改戌方的或扁的是爲了避免圓形算籌容易滾動而造成錯誤。根據文獻的記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、玉籌和牙籌，還有盛裝算籌的算袋和算子筒。唐代曾經規定，文武官員必須攜帶算袋。1971年八月中旬，在陝西寶雞市千陽縣第一次發現西漢宣帝時期（公元前73年到前49年）的骨制算籌三十多根，大小長短和《漢書·律曆志》的記載基本相同。1975年上半年在湖北江陵鳳凰山一六八號漢墓又發現西漢文帝時期（公元前179年到前157年）的竹製算籌一束，長度比千陽縣發現的算籌稍大一點。1980年九月，在石家莊市又發現東

漢初期（公元一世紀）的骨制算籌約三十根，長度和形狀同《隋書·律曆志》的記載相近，這說明算籌長度和形狀的改變早在東漢初期：已經開始。算籌的出土，爲研究我國數學發展史提供了可貴的實物資料。

籌算是以算籌作工具，擺成縱式的（）和橫式的（）兩種數字，按照縱橫相間（“一縱十橫，百立千僵”）的原則表示任何自然數（如六千七百零八表示爲，遇到零的時候用空位表示），從而進行加、減、乘、除、開方以及其他的代數計算。

籌算一出現，就嚴格遵循十進位值制記數法。九以上的數就進一位，同一個數字放在百位就是幾百，放在萬位就是幾萬。

算籌記數示意圖。圖上表示的數是一千九百七十一。

這種記數法，除所用的數字和現今通用的印度一阿拉伯數字形式不同外，和現在的記數法實質是一樣僞。籌算是把算籌一面擺成數字，一面進行計算，它的運算程序和現今珠算的運算程序基本相似。記述籌算記數法和運算法則的著作有《孫子算經》（公元四世紀）、《夏侯陽算經》（公元五世紀）和《數術記遺》（公元六世紀）。負數出現後，算籌分成紅黑兩種，紅籌表示正數，黑籌表示負數。算籌還可以表示各種代數式，進行各種代數運算，方法和現今的分離係數法相似。我國古代在數字計算和代數學方面取得的輝煌成就，和籌算有密切的關係。例如祖沖之的圓周率準確到小數第六位，需要計算正一萬二千二百八十八邊形的邊長，把一個九位數進行二十二次開平方（加、減、乘、除步驟除外），如果沒有十進位值制的計算方法，那就會困難得多了。

古巴比侖的記數法雖然有位值制的意義，但是它是六十進的，計算比較繁瑣。古埃及的數字從一到十隻有兩個數字元號，從一百到一千萬有四個數字元號，而且是象形的，例如用一個鳥表示十萬。文化比較發達的古希臘，由於看重幾何，輕視計算，記數方法十分落後，用全部希臘字母表示一到一萬的數字，字母不夠的時候就在字母旁邊增加符號“‘”，如。α表示一千，β表示二千等。現在世界通用的印度一阿拉伯數字和記數法是印度古代人民創造的`，但是印度在公元三世紀以前使用的記數法是希臘式和羅馬式兩種，都不是位值制，真正使用十進位值制記數法出現在公元六世紀末。由此可見，我國古代的十進位值制記數法和籌算，在世界數學史上應該佔有重要的地位。

籌算在我國古代用了大約兩千年，在生產和科學技術以至人民生活中，發揮了重大的作用。但是它的缺點也是十分明顯的：首先，在室外拿着一大把算籌進行計算就很不方便；其次，計算數字的位數越多，所需要的面積越大，受環境和條件的限制；此外，當計算速度加快的時候，很容易由於算籌擺弄不正而造成錯誤。隨着社會的發展，計算技術要求越來越高，籌算需要改革，這是勢在必行的。這個改革從中唐以後的商業實用算術開始，經宋元出現大量的計算歌訣，到元末明初珠算的普遍應用，歷時七百多年。《新唐書》和《宋史·藝文志》記載了這個時期出現的大量著作。由於封建統治階級對民間數學十分輕視，以致這些著作的絕大部分已經失傳。從遺留下來的著作中可以看出，籌算的改革是從籌算的簡化開始而不是從工具改革開始的，這個改革最後導致珠算的出現。

珠算是由籌算演變而來的，這是十分清楚的。籌算數字中，上面一根籌當五，下面一根籌當一，珠算盤中的上一珠也是當五，下一珠也是當一；由於籌算在乘、除法中出現某位數字等於十或多於十的情形（例如26532÷8，第一步就是“八二下加四”，就變成），所以珠算盤採用上二珠下五珠的形式。其次，我們可以證明，從楊輝、朱世傑開始到元末丁巨、何平子、賈亨止起除“起一”法外的全部現今通用的珠算歌訣，是爲籌算而設的。楊輝的《乘除通變本末》（公元1274年）和朱世傑的《算學啓蒙》（公元1299年）已經有相當完備的歌訣，但是楊輝在《乘除通變本末》中說：“下算不出 ‘橫’‘直’”，其中“橫”“直”顯然是指算籌的縱橫排列，朱世傑在《算學啓蒙》中提到“知算縱橫數目真”，也是這個意思。《丁巨算法》（公元1355 年）、何平子的《詳明算法》（公元1373年）、賈亨的《算法全能》（約公元1373年）也有相當完備的歸除歌訣，但是都沒有提到珠算，而《詳明算法》還有許多籌算算草。歌訣出現後，籌算原來存在的缺點就更突出了，歌訣的快捷和擺弄算籌的遲快取在矛盾。爲了得心應手，勞動人民便創造出更加先進的計算工具 ——珠算盤。

現存文獻中最早提到珠算盤的是明初的《對相四言》。明代中期公元十五世紀中葉《魯班木經》中有製造珠算盤的規格：“算盤式：一尺二寸長，四寸二分大。框六分厚，九分大，……線上二子，一一寸一分；線下五子，三寸一分。長短大小，看子而做。”把上二子和下五子隔開的不是木製的橫樑，而是一條線。比較詳細地說明珠算用法的現存著作有徐心魯的《盤珠算法》（公元1573年）、柯尚_遷的《數學通軌》（公元 1578年）、朱載堉（1536—1611）的《算學新說》（公元1584年）、程大位的《直指算法統宗》（公元1592年）等，以程大位的著作流傳最廣。

值得指出的是，在元代中葉和元末的文學、戲劇作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年（公元1279 年）劉因在他的《靜修先生文集》中有一首關於算盤的五言絕詩；陶宗儀在他的《輟耕錄》中把婢僕貶作算盤珠，要撥才動；《元曲選》“龐居上誤放來生債”提到 “去那算盤裏撥了我的歲數”，等等。文學、戲劇中用算盤珠作比喻，說明珠算盤已經比較流行，也說明它是比較時新的東西。因此可以認爲，珠算出現在元代中葉，元末明初已經普遍應用了。

有的外國學者認爲我國的珠算出現在漢代，他們的根據是漢徐嶽著、北周甄蠻注的《數術記遺》已經明確提到珠算。我國數學家、數學史家錢寶琮（1892—1974）曾經考證過，《數術記遺》是甄鸞依託僞造而自己註釋的書。在北周時，乘、除運算都在上、中、下三層進行，又沒有簡化乘、除法的歌訣，因此甄鸞註釋的珠算，充其量不過是一種記數工具或者只能作加減法的簡單算盤，和後來出現的珠算是完全不同的。

珠算還傳到朝鮮、日本等國，對這些國家的計算技術的發展曾經起過一定的作用。日本人在十七世紀中葉，在中國算盤的基礎上，改成樑上一珠、珠作棱形的日本算盤。