高中新課程訓練題及答案

一、選擇題（本小題共12小題，每小題5分，共60分）

1. 若是平面外一點，則下列命題正確的是

（A）過只能作一條直線與平面相交 （B）過可作無數條直線與平面垂直

（C）過只能作一條直線與平面平行 （D）過可作無數條直線與平面平行

2．在空間四邊形中，、、、上分別取、、、四點，如果、交於一點，則（ ）

A．一定在直線上 B．一定在直線上

C．在直線或上 D．既不在直線上，也不在上

3．如圖S爲正三角形所在平面ABC外一點，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分別爲SC、AB中點，則異面直線EF與SA所成角爲（ ）

A．90? B．60? C．45? D．30?

4．下列說法正確的是（ ）

A．若直線平行於平面內的無數條直線，則

B．若直線在平面外，則

C．若直線，，則

D．若直線，，則直線就平行於平面內的無數條直線

5．在下列條件中，可判斷平面與平面平行的是（ ）

A．、都垂直於平面

B．內存在不共線的三點到平面的距離相等

C．、是內兩條直線，且，

D．、是兩條異面直線，且，，，

6 若爲一條直線，爲三個互不重合的平面，給出下面三個命題：① ② ；③ ，其中正確的命題有（ ）

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

7．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當點D到平面ABC的距離最大時，直線BD和平面ABC所成角的大小爲 （ ）

A．90? B．60? C．45? D．30?

8．PA、PB、PC是從點P引出的三條射線，每兩條射線的夾角均爲60?，則直線PC與平面APB所成角的餘弦值是（ ）

A． B． C． D．

9．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點，則EF與對角面A1C1CA所成角的度數是（ ）

A．30? B．45? C．60? D．150?

10．設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是

（A）若AC與BD共面，則AD與BC共面

（B）若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線

（C）若AB=AC，DB=DC，則AD=BC

（D）若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC

11．對於平面和共面的直線、下列命題中真命題是

（A）若則 （B）若則

（C）若則 （D）若、與所成的角相等，則

12．給出以下四個命題：

①如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行，

②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面

③如果兩條直線都平行於一個平面，那麼這兩條直線互相平行，

④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直.

其中真命題的個數是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13．設是直二面角，，，，，

則 。

14．、、是兩兩垂直且交於O點的三個平面，P到平面、、的距離分別是2、3、

6，則 。

15． 如圖，在正三棱柱中，AB=1。若二面角的大小爲，則點到直線AB的距離爲 。

16．已知正四棱錐的體積爲12，底面對角線的長爲，則側面與底面所成的二面角等於_______________

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17.如圖，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。

（I）求證：BD⊥平面ACC1A；

（II）若二面角C1-BD-C的大小爲60°，求異面直線BC1與AC所成角的大小。

18．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，，，

⑴求證：平面AB1C⊥平面BB1C；

⑵求點B到平面AB1C的距離。

19. 如圖1，已知ABCD是上．下底邊長分別爲2和6，高爲的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.

（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

20．如圖，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120?，

求：⑴A、D連線和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C的正切值。

21． 如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱。

（1）證明FO//平面CDE；

（2）設，證明EO⊥平面CDF。

22.（本小題滿分12分）

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（I）求證：平面BCD；

（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（III）求點E到平面ACD的距離。

參考答案

一、選擇題

DBCDD CCCAC CB

12．提示：BD1⊥平面AB1C，EF⊥平面AB1C

二、填空題

13．60? 14．7 15． 16．. 。

三、解答題

17．

解法一：

（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱

∴CC1⊥平面ABCD

∴BD⊥CC1

∴ABCD是正方形，

∴BD⊥AC

又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1

（II）設BD與AC相交於O，連接C1O。

∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角

∴∠C1OC=60°

連接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1與AC所成角.

設BC=a,則CO=

在△A1BC1中，由余弦定理得

∴異面直線BC1與AC所成角的大小爲arccos

解法二:（I）建立空間直角座標系D-xyz,如圖。

設AD=a，DD1=b，則有D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），

C（0，a，0），C1（0，a，b），

∴BD⊥AC，BD⊥CC1

又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，

∴BD⊥平面ACC1A1。

（II）設BD與AC相交於O，連接C1O，則點O座標爲)

∴BD⊥C1O，又BD⊥CO， ∴∠C1OC=60°

∴異面直線BC1與AC所成角的大小爲

18．⑴由已知條件立即可證得，

⑵在平面BB1C內作BD⊥B1C於D，由⑴得BD⊥面AB1C，

∴BD爲B到面AB1C的距離，∴（本題也可用體積轉換）

19．．解法一（I）證明 由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB. 故可以O爲原點，OA、OB、OO1

所在直線分別爲軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，

如圖3，則相關各點的座標是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.

從而

所以AC⊥BO1.

（II）解：因爲所以BO1⊥OC，

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量.

設是0平面O1AC的一個法向量，

由 得.

設二面角O—AC—O1的大小爲，由、的方向可知，>，

所以cos，>=

即二面角O—AC—O1的大小是

解法二（I）證明 由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的.直二面角的平面角，即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內的射影.

因爲 ，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1

由三垂線定理得AC⊥BO1.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.

設OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC於F，連結O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC

內的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.

所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.

由題設知OA=3，OO1=，O1C=1，

所以，

從而， 又O1E=OO1·sin30°=，

⑴顯然可得MN∥平面ABC，∵平面MNC平面ABC＝，∴MN∥

⑵∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，作MQ⊥AC，則MQ⊥平面ABC，

作QD⊥於D，則MD⊥，MD的長即爲M到的距離

在Rt△ACB中，可求得，又，∠QCD＝30?，

∴，，於是

20．⑴作AO⊥BC交BC的延長線於O，∵面ABC⊥面BCD，∴OA⊥面BCD，連OD，則∠ADO就是AD與平面BCD所成的角，可求得∠ADO＝45?

⑵作OE⊥BD於E，連AE，則BD⊥AE，

∴∠AEO就是二面角A－BD－C的平面角的補角，

∵∠ABO＝60?，∴，，∵∠EBO＝60?，∴

在Rt△AOE中，，∴二面角A－BD－C的正切值爲－2

21. （1）證明：取CD中點M，連結OM，在矩形ABCD中

，又，則。連結EM，

於是四邊形EFOM爲平行四邊形

∴ FO//EM

又 ∵ FO平面CDE，且EM平面CDE，∴ FO//平面CDE

（2）證明：連結FM，由（1）和已知條件，在等邊中，CM=DM，EM⊥CD且。因此平行四邊形EFOM爲菱形，從而EO⊥FM

∵ CD⊥OM，CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO

而FMCD=M，所以平面CDF

22（I）證明：連結OC

在中，由已知可得

而

即

平面

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E爲BC的中點知

直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

在中，

是直角斜邊AC上的中線，

異面直線AB與CD所成角的大小爲

（III）解：設點E到平面ACD的距離爲

在中，

而

點E到平面ACD的距離爲